Стационарное уравнение шредингера
Рассмотрим поведение функции вблизи особых точек. Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter». Студенты современных вузов изучают научные труды Э. Приведя подобные, мы это уравнение сведем к виду.
Из уравнения Шредингера также следует, что проекция момента импульса L на выбранное направление в пространстве, скажем, ось z , также квантуется. Величина этой проекции, L z , связана с квантовым числом m l.
При заданном l магнитное квантовое число m l может принимать следующие значения:. Говорят, что уровень энергии E n будет вырожден с кратностью n 2. В атомной физике применяют заимствованные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса:.
Значение главного квантового числа n указывают перед буквой, являющейся условным обозначением азимутального квантового числа l. Квантовые числа. Спектры атома водорода в теории Шредингера.
Уравнение Шредингера для атома водорода В лекции N 7 мы разобрали боровскую теорию атома водорода, основанную на постулатах Бора и условии стационарности состояний атома 4. Это так называемые несвязанные состояния электрона , когда он пролетает мимо ядра и уходит от него на бесконечность; б при дискретных отрицательных значениях энергии Эта формула совпадает с полученной Бором формулой для энергии стационарных состояний атома водорода.
Эти целые числа называются квантовыми числами : n - главное квантовое число, оно, как мы знаем см.
При заданном n азимутальное квантовое число l может принимать следующие значения: всего n значений. Сибирская государственная геодезическая академия СГГА , г.
Свободное одномерное движение частицы , то есть частица находится в поле с постоянным потенциалом и ее потенциальная энергия равна нулю. В этом случае уравнение III. Решением такого дифференциального уравнения дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами хорошо известно и в общем случае имеет вид:.
Легко убедится, что в данном случае на E не накладывается никаких ограничений и энергетический спектр непрерывен. Теперь несколько усложним задачу и рассмотрим.
Движение частицы в яме с бесконечно высокими стенками. В этом случае потенциальная энергия будет равна. Уравнение Шредингера III. Решением уравнения III.
Рассмотрим теперь второе граничное условие - :. Представим теперь экспоненту в виде тригонометрических функций согласно формуле Эйлера:. Приведя подобные, мы это уравнение сведем к виду.
Равенство III. Итак, волновая функция частицы в потенциальной яме принимает вид. С другой стороны, из. Рассмотрим теперь одномерное движение частицы по оси x под воздействием упругой возвращающей силы , где k - силовая постоянная. Такая система называется линейным гармоническим осциллятором. Положим для определенности , где - частота колебаний, можно записать уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора:.
Если ввести обозначения и , то III. Непосредственно найти решения этого уравнения нельзя, поэтому предположим, что , это справедливо, когда амплитуда колебаний не велика. В этом случае III. Однако поскольку волновая функция должна быть ограниченной, то физический смысл имеет только экспонента с отрицательным показателем:. Подстановка этой функции в исходное уравнение III. Для низших n полиномы Эрмита имеют вид:.
Графики волновых функций и соответствующие собственные значения для низших n для линейного гармонического осциллятора. Интересно отметить следующие особенности: система энергетических уровней дискретна с постоянным интервалом, равным.
